如圖,已知正方形ABCD與矩形BEFD所在的平面互相垂直,AB=,DF=1,P是線段EF上的動點(diǎn).

(1)若點(diǎn)O為正方形ABCD的中心,求直線OP與平面ABCD所成角的最大值;

(2)當(dāng)點(diǎn)P為EF的中點(diǎn)時,求直線BP與FA所成角的正弦值;

(3)求二面角A-EF-C的大小.

解:(1)連結(jié)OP.設(shè)OP與平面ABCD所成角為α,則α∈［,］.

當(dāng)P是線段EF的中點(diǎn)時,OP⊥平面ABCD,直線OP與平面ABCD所成的最大角是.

(2)連結(jié)AF、FC、OF.

易證FO∥PB,

∴∠AFO是直線BP與FA所成的角.

依題意,在等腰△AFC中,FO⊥AC,△AOF為直角三角形.

∵AD=2,DF=1,∴AF=3.

又AO==1,

∴在Rt△AOF中,sin∠AFO=.

(3)連結(jié)AE、EC,則AF=FC=AE=EC=.

取EF的中點(diǎn)P,連結(jié)AP、CP,則AP⊥EF,CP⊥EF,

∴∠APC是二面角A-EF-C的平面角.

等腰△AEF≌△CEF,

∴在△APC中,AP=CP=.

又AC=2,∴△APC是直角三角形,且∠APC=.

∴二面角A-EF-C的大小是.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
2
，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A-DF-B的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，過正方形中心O的直線MN分別交正方形的邊AB，CD于M，N，則當(dāng)
MN
BN
最小時，CN=
5
-1
2
5
-1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD和梯形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，AF=
2
，CE=2
2
，CE∥AF，AC⊥CE，
ME
=2
FM

（I）求證：CM∥平面BDF；
（II）求異面直線CM與FD所成角的余弦值的大�。�
（III）求二面角A-DF-B的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
2
，AF=1．
（1）求二面角A-DF-B的大��；
（2）在線段AC上找一點(diǎn)P，使PF與AD所成的角為60°，試確定點(diǎn)P的位置．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•深圳二模）如圖，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影線垂直于投影面）是四邊形A′B′C′D′，其中A與A'重合，且BB′＜DD′＜CC′．
（1）證明AD′∥平面BB′C′C，并指出四邊形AB′C′D′的形狀；
（2）如果四邊形中AB′C′D′中，AD′=
2
，AB′=
5
，正方形的邊長為
6
，求平面ABCD與平面AB′C′D′所成的銳二面角θ的余弦值．

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