已知雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)經(jīng)過點P(4,
15
),且雙曲線C的漸近線與圓x2+(y-3)2=4相切.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)設(shè)F(c,0)是雙曲線C的右焦點,M(x0,y0)是雙曲線C的右支上的任意一點,試判斷以MF為直徑的圓與以雙曲線實軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.
分析:(1)由雙曲線過定點得到關(guān)于a,b的方程,再由雙曲線C的漸近線與圓x2+(y-3)2=4相切得到關(guān)于a,b的另一方程,聯(lián)立后求得a,b的值,則雙曲線的方程可求;
(2)求出雙曲線的兩個焦點坐標(biāo),由定義得到M的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式,求出乙MF為直徑的圓的圓心坐標(biāo)和半徑,然后利用圓心距和半徑的關(guān)系得答案.
解答:解:(1)∵雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1經(jīng)過點P(4,
15
),所以
16
a2
-
15
b2
=1
①.
∵雙曲線C的漸近線bx±ay=0與圓x2+(y-3)2=4相切,
所以圓心(0,3)到直線bx±ay=0的距離等于2,
|3a|
b2+a2
=2
,整理得5a2=4b2②.
聯(lián)立①與②,解得
a2=4
b2=5
,
∴雙曲線C的方程為
x2
4
-
y2
5
=1
;
(2)由(1)得,c=
a2+b2
=3
,所以雙曲線C的右焦點為F(3,0).
設(shè)雙曲線C的左焦點為F′(-3,0),因為點M在雙曲線C的右支上,
所以|MF′|-|MF|=4,即
(x0+3)2+y02
-
(x0-3)2+y02
=4,
所以即
(x0+3)2+y02
=
(x0-3)2+y02
+4,
因為以雙曲線C的實軸為直徑的圓的圓心為(0,0),半徑為r1=2;
以MF為直徑的圓的圓心為(
x0+3
2
y0
2
)
,半徑為r2=
1
2
(x0-3)2+y02

所以兩圓圓心之間的距離為d=
(
x0+3
2
)2+(
y0
2
)2
=
1
2
(x0+3)2+y02

因為d=
1
2
(x0+3)2+y02
=
1
2
[4+
(x0-3)2+y02
]
=2+
1
2
(x0-3)2+y02
=r1+r2
,
∴以MF為直徑的圓與以雙曲線實軸為直徑的圓外切.
點評:本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,訓(xùn)練了圓與圓關(guān)系的應(yīng)用,考查了計算能力,是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•許昌三模)已知雙曲線c:
x2
a
-
y2
b
=1(a>.,b>0)的半焦距為c,過左焦點且斜率為1的直線與雙曲線C的左、右支各有一個交點,若拋物線y2=4cx的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長大于
2
2
3
be2.(e為雙曲線c的離心率),則e的取值范同是
2
,
3
2
,
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•寧波模擬)已知雙曲線
x2
a
-
y2
a2+a+1
=1
的離心率的范圍是數(shù)集M,設(shè)p:“k∈M”; q:“函數(shù)f(x)=
lg
x-1
x-2
  x<1
2x-k       x≥1
的值域為R”.則P是Q成立的( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:寧波模擬 題型:單選題

已知雙曲線
x2
a
-
y2
a2+a+1
=1
的離心率的范圍是數(shù)集M,設(shè)p:“k∈M”; q:“函數(shù)f(x)=
lg
x-1
x-2
  x<1
2x-k       x≥1
的值域為R”.則P是Q成立的( 。
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知雙曲線c:
x2
a
-
y2
b
=1(a>.,b>0)的半焦距為c,過左焦點且斜率為1的直線與雙曲線C的左、右支各有一個交點,若拋物線y2=4cx的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長大于
2
2
3
be2.(e為雙曲線c的離心率),則e的取值范同是______.

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