Question

如圖5：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，過線段BD₁上一點P（P平面ACB₁）作垂直于D₁B的平面分別交過D₁的三條棱于E、F、G．
(1)求證：平面EFG∥平面A CB₁，并判斷三角形類型；
(2)若正方體棱長為a，求△EFG的最大面積，并求此時EF與B₁C的距離．

Answer 1

（1）見解析（2）·a

(證明（1）用純粹的幾何方法要輾轉證明EF∥AC，EG∥B₁C，F(xiàn)G∥AB₁來證明，而我們借用向量法使問題代數(shù)化，運算簡潔，思路簡單明了．)

(1)分析：要證平面EFG平面ACB₁，由題設知只要證BD₁垂直平面ACB₁即可．
證明：以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖5，不妨設正方體棱長為a，則A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D₁（0，0，a），B₁（a，a，a），E（x_E，0，a），F(xiàn)（0，y_F，a），G（0，0，z_G）．
∴=（－a，－a，a），=（0，a，a），（－x_E，y_F，0），=（－a，a，0），=（－a，0，－a），
∵·=(－a，－a，a)·(0，a，a)=0，
∴⊥ ，
同理⊥，
而與不共線且相交于點A，
∴⊥平面ACB₁，又已知⊥平面EFG，
∴平面EFG∥平面ACB₁；
又因為⊥平面EFG，所以⊥，
則·=0， 
即 (－a，－a，a)·(－x_E，y_F，0)=0，
化簡得 x_E－y_F=0；
同理   x_E－z_G="0, " y_F－z_G=0，
易得  ==，
∴ △EFG為正三角形．
(2)解：因為△EFG是正三角形，顯然當△EFG與△A₁C₁D重合時，△EFG的邊最長，其面積也最大，此時，=A₁C₁=·a，
∴=
= ·sin60⁰
= (·a)2·
=·a2 ．
此時EF與B₁C的距離即為A₁C₁與B₁C的距離，由于兩異面直線所在平面平行，所求距離轉化為求點B₁到平面A₁C₁D的距離，記A₁C₁與B₁D₁交于點O₁，作O₁H∥D₁B并交BB₁于點H，則O₁H⊥平面A₁C₁D，垂足為O₁，則O₁(，，a)，H(a，a，)，而作為平面A₁C₁D的法向量，
所以異面直線EF與B₁C的距離設為d是
d = ==·a．
(證明（2）時一般要找到求這兩平面距離的兩點，如圖5*，而這兩點為K與J，在立體圖形中較難確定，且較難想到通過作輔助線DO₁，OB₁來得到，加上在如此復雜的空間圖形中容易思維混亂，但只要借助平面法向量求線段的射影長度的思想，結合題設，使思路清晰明了，最終使問題的解決明朗化；把握這種思想，不管是空間線線距離，線面距離，面面距離問題，一般我們都能轉化成點線或點面距離，再借助平面法向量很好地解決了．)