Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-1，5]，部分對應(yīng)值如下表．f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f'（x）的圖象如圖所示． x -1 0 2 4 5 f（x） 1 2 0 2 1 下列關(guān)于函數(shù)f（x）的命題： ①函數(shù)f（x）在[0，1]上是減函數(shù)； ②如果當(dāng)x∈[-1，t]時(shí)，f（x）最大值是2，那么t的最大值為4； ③函數(shù)y=f（x）-a有4個(gè)零點(diǎn)，則1≤a＜2； ④已知（a，b）是y= 2012 f(x) 的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間，則b-a的最大值為2． 其中真命題的個(gè)數(shù)是（　　）

A．4個(gè)

B．3個(gè)

C．2個(gè)

D．1個(gè)

Answer 1

分析：由導(dǎo)數(shù)圖象可知，函數(shù)的單調(diào)性，故可判斷①；結(jié)合表格中幾個(gè)特殊點(diǎn)的函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分析t取不同值時(shí)，函數(shù)的最大值變化情況，可判斷②；結(jié)合表格中幾個(gè)特殊點(diǎn)的函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分析函數(shù)的極值，分析可判斷③；根據(jù)f（x）的單調(diào)性，分析出y=

2012

f(x)

的單調(diào)性，進(jìn)而求出b-a的最大值．

解答：解：由導(dǎo)數(shù)圖象可知，
當(dāng)-1＜x＜0或1＜x＜4時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜x＜1或4＜x＜5，f'（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以①正確；
當(dāng)x=0和x=4，函數(shù)取得最大值f（0）=2，f（4）=2，
當(dāng)x∈[-1，t]時(shí)，f（x）最大值是2，那么t的最大值為5，故②不正確；
由f（-1）=f（5）=1，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，
可得若y=f（x）-a有4個(gè)零點(diǎn)，則1≤a＜2，故③正確；
∵y=

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f(x)

的單調(diào)性與y=f（x）的單調(diào)性相反，
結(jié)合y=

2012

f(x)

的定義域?yàn)閇-1，a）∪（a，2）∪（2，5]，其中a∈（0，1）
故y=

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f(x)

在（-1，0），（a，2），（2，4）上為減函數(shù)，
故（a，b）是y=

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f(x)

的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間，則b-a的最大值為2，故④正確
故四個(gè)命題中有3個(gè)為真命題
故選B

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象之間的關(guān)系，正確運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)圖象是關(guān)鍵．