Question

已知函數(shù)

（I）求證 

（II）若取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（I）見解析（II）

【解析】（I）解法一要證

令，則，可得在

[0,1]上為增函數(shù)，故。

要證，也就是證，即證，也就是證

令，則可得在[0,1]上為增函數(shù)，

故

綜上可得

（I）解法二要證，也就是證

令，令

，即為增函數(shù)，

，可得在 [0,1]上為增函數(shù)，

故；

要證，也就是證，即證，令

，，可得

即，從而得，故

綜上可得

（II）

，

，

,從而

所以，

下面注明，

=

，令則

于是，

此時

綜上

第一問中的解法一采取對已知函數(shù)進(jìn)行分離整理，使得函數(shù)的結(jié)構(gòu)變得簡單對稱，求得導(dǎo)函數(shù)也就變得簡單了，但是在解題過程中很難想到。解法二是直接移項構(gòu)造函數(shù)，比較容易想到，但是求出導(dǎo)函數(shù)后又變得無從下手，這時候需要二次求導(dǎo)分析來解決。兩種解法各有特點。

第二問主要是在第一問的基礎(chǔ)上利用不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，轉(zhuǎn)化為另一個函數(shù)進(jìn)行分析解答。

【考點定位】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用。