Question

在△ABC中，已知AB=，cosB=，AC邊上的中線BD=，求sinA的值．

Answer 1

【答案】分析：解三角形的特征是把題目中所給的條件全部集合到一個(gè)三角形中，依次解出邊、角，達(dá)到解三角形的目的．
方法一通過(guò)充分利用D是中點(diǎn)，構(gòu)造新三角形，在新三角形中解出BC的一半求出BC，再由余弦定理求邊AC，下則可用正弦定理求出sinA；
方法二根據(jù)所給的條件巧妙地建立了一個(gè)直角坐標(biāo)系，將三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化到向量中研究，大大降低了分析問(wèn)題的難度，首先是求出了，兩個(gè)向量，利用公式求出了兩個(gè)向量的夾角A的余弦，再求正弦．此法越過(guò)了構(gòu)造新三角形，使得方法易想．
方法三與方法一類(lèi)似構(gòu)造了一系列的新三角形，此方法充分利用D是中點(diǎn)這一性質(zhì)構(gòu)造出了一個(gè)平行四邊形，使得求三角形的另兩邊的邊長(zhǎng)時(shí)視野開(kāi)闊，方法也較巧妙．
解答：解：解法一：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接DE，則DE∥AB，且DE=AB=，設(shè)BE=x．
由DE∥AB可得出∠BED=π-∠B，即cos∠BED=-
在△BDE中利用余弦定理可得：BD²=BE²+ED²-2BE•EDcos∠BED，5=x²++2××x，
解得x=1，x=-（舍去）．
故BC=2，從而AC²=AB²+BC²-2AB•BCcosB=，即AC=
又sinB=，故=，sinA=．

解法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正向建立直角坐標(biāo)系，且不妨設(shè)點(diǎn)A位于第一象限．
由sinB=，則=（cosB，sinB）=（，），
設(shè)=（x，0），則=（，）．
由條件得||==．
從而x=2，x=-（舍去）．故=（-，）．
于是cosA===．
∴sinA==．

解法三：過(guò)A作AH⊥BC交BC于H，延長(zhǎng)BD到P使BD=DP，連接AP、PC．
過(guò)P做PN⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于N，則HB=ABcosB=，AH=，
BN====，
而 HB=，∴CN=，HC=，AC==．
故由正弦定理得=，∴sinA=．
點(diǎn)評(píng)：構(gòu)造法解三角形，如果條件不在一個(gè)三角形中時(shí)首先要做的就是把這些條件轉(zhuǎn)化到一個(gè)新構(gòu)造出來(lái)的三角形中，此三角形與要研究的三角形之間必有確定的關(guān)系，通過(guò)解新三角形來(lái)達(dá)到解要研究三角形的目的．
利用三角與向量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化到向量中去也是解三角形的一個(gè)好辦法，此法大大降低了解三角形時(shí)思維的深度，方法較好，數(shù)學(xué)解題中的一個(gè)重要能力就是靈活轉(zhuǎn)化，本題能起到培養(yǎng)答題者轉(zhuǎn)化化歸意識(shí)的一道好題．