Question

已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為軸，焦點(diǎn)為,拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，且.

(1)求拋物線的方程；

(2)過點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn),求證: .

 

Answer 1

(1)(2)詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)可利用待定系數(shù)法設(shè)拋物線方程為求解；

(2)因為是直線與圓錐曲線的相交問，可以設(shè)直線方程（斜率不存在時單獨(dú)討論），然后聯(lián)立拋物線方程和直線方程運(yùn)用韋達(dá)定理結(jié)合條件來求解.

試題解析：【解析】
(1)由題設(shè)拋物線的方程為：，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的一個坐標(biāo)為，2分

∵，∴，4分

∴，∴，∴.6分

(2)設(shè)、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，

法一：因為直線當(dāng)的斜率不為0，設(shè)直線當(dāng)的方程為

方程組得，

因為

所以

=0，

所以.

法二：①當(dāng)的斜率不存在時，的方程為，此時

即有所以. 8分

當(dāng)的斜率存在時，設(shè)的方程為

方程組得

所以10分

因為

所以

所以.

由①②得.12分

考點(diǎn)：1.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.