Question

等差數(shù)列{a_n}中首項(xiàng)為a₁，公差為d，前n項(xiàng)和為S_n，給出下列四個(gè)命題：
①數(shù)列{（

1

2

） an}為等比數(shù)列；
②若a₂+a₁₂=2，則S₁₃=13；
③S_n=na_n-

n(n-1)

2

d；
④若d＞0，則S_n一定有最大值．
其中正確命題的序號(hào)是

①②③

．

Answer 1

分析：①根據(jù)等比數(shù)列的定義證明．②利用等差數(shù)列的性質(zhì)證明．③根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)證明．④利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)判斷．

解答：解：①

( 1 2 )an

( 1 2 )an-1

=(

1

2

)an-an-1=(

1

2

)d為常數(shù)，所以數(shù)列{（

1

2

） an}為等比數(shù)列；正確．
②在等差數(shù)列中，a₂+a₁₂=a₁+a₁₃=2，所以S₁₃=

(a1+a13)

2

×13=

2

2

×13=13，所以正確．
③在等差數(shù)列中，以a_n為首項(xiàng)，此時(shí)數(shù)列的公差為-d，S_n=na_n+

n(n-1)(-d)

2

=na_n-

n(n-1)

2

d；所以正確．
④若d＞0，則等差數(shù)列為遞增數(shù)列，此時(shí)S_n沒有有最大值．所以④錯(cuò)誤．
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的應(yīng)用，要求熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．