Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=3，對于任意大于1的正整數(shù)n，點(diǎn)（

an

，

an-1

）都在直線x-y-

3

=0上，則

lim

n→∞

an

(n+1)2

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的極限

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)一個(gè)點(diǎn)在一條直線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線的方程，代入整理成一個(gè)等差數(shù)列，看出首項(xiàng)和公差，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，兩邊開方，求出a_n=3n²，即可求出

lim

n→∞

an

(n+1)2

．

解答： 解：∵點(diǎn)（

an

，

an-1

）都在直線x-y-

3

=0上，
∴

an

-

an-1

=

3

又a₁=3，
∴{

an

}是以

3

為首項(xiàng)，

3

為公差的等差數(shù)列，
∴

an

=

3

n，
即a_n=3n²，
∴

lim

n→∞

an

(n+1)2

=

lim

n→∞

3n2

(n+1)2

=

lim

n→∞

3

1+ 2 n + 1 n2

=3
故答案為：3．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，考查極限知識(shí)，是一個(gè)簡單的綜合題目．