Question

設(shè)點(diǎn)F(0，

3

2

)，動(dòng)圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且和直線y=-

3

2

相切．記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲線W．
（Ⅰ）求曲線W的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F作互相垂直的直線l₁，l₂，分別交曲線W于A，B和C，D．求四邊形ACBD面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，動(dòng)圓到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，其軌跡為拋物線，寫出其方程．
（2）設(shè)出l₁的方程y=kx+

3

2

，聯(lián)立l₁和拋物線的方程，將AB的長(zhǎng)度用k表示出來(lái)，同理，l₂的方程為y=-

1

k

x+

3

2

，將CD的長(zhǎng)度也用k表示出來(lái)．再由四邊形面積公式S=

1

2

×|AB|•|CD|，算出表達(dá)式，再用不等式放縮即得．

解答：解：（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)P作PN垂直直線y=-

3

2

于點(diǎn)N．
依題意得|PF|=|PN|，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為是以F(0，

3

2

)為焦點(diǎn)，直線y=-

3

2

為準(zhǔn)線的拋物線，
即曲線W的方程是x²=6y
（Ⅱ）依題意，直線l₁，l₂的斜率存在且不為0，
設(shè)直線l₁的方程為y=kx+

3

2

，
由l₁⊥l₂得l₂的方程為y=-

1

k

x+

3

2

．
將y=kx+

3

2

代入x²=6y，化簡(jiǎn)得x²-6kx-9=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=6k，x₁x₂=-9．
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=6(k2+1)，
同理可得|CD|=6(

1

k2

+1)．
∴四邊形ACBD的面積S=

1

2

|AB|•|CD|=18(k2+1)(

1

k2

+1)=18(k2+

1

k2

+2)≥72，
當(dāng)且僅當(dāng)k2=

1

k2

，即k=±1時(shí)，S_min=72．
故四邊形ACBD面積的最小值是72．

點(diǎn)評(píng)：高考中對(duì)圓錐曲線基本定義的考查仍是一個(gè)重點(diǎn)，本題中，對(duì)于對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積，可用兩條對(duì)角線長(zhǎng)的乘積的

1

2

表示．