Question

17．已知f（x）=（-x²+x-1）e^x（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象與g（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+m的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍是（$\frac{3}{e}$-$\frac{1}{6}$，-1）．

Answer 1

分析 令h（x）=f（x）-g（x），求出導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，和極值，函數(shù)f（x），g（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)h（x）有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即有h（-1）＜0，且h（0）＞0，解出即可．

解答 解：令h（x）=f（x）-g（x）=（-x²+x-1）e^x-（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+m），
則h′（x）=（-2x+1）e^x+（-x²+x-1）e^x-（x²+x）=-（e^x+1）（x²+x），
令h′（x）＞0得-1＜x＜0，令h′（x）＜0得x＞0或x＜-1．
∴h（x）在x=-1處取得極小值h（-1）=-$\frac{3}{e}$-$\frac{1}{6}$-m，在x=0處取得極大值h（0）=-1-m，
∵函數(shù)f（x），g（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)h（x）有3個(gè)不同的零點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h（-1）＜0}\\{h（0）＞0}\end{array}\right.$即 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{e}-\frac{1}{6}-m＜0}\\{-1-m＞0}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{3}{e}$-$\frac{1}{6}$＜m＜-1，
故答案為：（$\frac{3}{e}$-$\frac{1}{6}$，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求極值，考慮極值的正負(fù)來判斷函數(shù)的零點(diǎn)，屬于中檔題．