Question

如圖，在C城周邊已有兩條公路l₁，l₂在點(diǎn)O處交匯，現(xiàn)規(guī)劃在公路l₁，l₂上分別選擇A，B兩處為交匯點(diǎn)（異于點(diǎn)O）直接修建一條公路通過C城，已知OC=，∠AOB=75°，∠AOC=45°，設(shè)OA=xkm，OB=ykm．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并指出它的定義域；
（2）試確定點(diǎn)A、B的位置，使△OAB的面積最小．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)△AOC的面積與△BOC的面積之和等于△AOB的面積，可得．
（2）根據(jù)△OAB的面積，化簡為[（x-2）++4]，再利用基本不等式求出
它的最小值．
解答：（1）因?yàn)椤鰽OC的面積與△BOC的面積之和等于△AOB的面積，
所以，…（4分）
即，所以，，它的定義域?yàn)椋?，+∞）．…（6分）
（2）△OAB的面積=•   …（8分）
=•=[（x+2）+]=[（x-2）++4]
≥•（2+4）=4（+1）．    …（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)取等號(hào)，此時(shí)．
故當(dāng)OA=4km，時(shí)，△OAB面積的最小值為．  …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求函數(shù)的解析式和定義域，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．