Question

已知數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，且，
（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列
（2）求通項(xiàng)與前n項(xiàng)的和；
（3）設(shè)若集合M=恰有4個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）證明見解析；（2），；（3）.

試題分析：（1）可以根據(jù)等比數(shù)列的定義證明，用后項(xiàng)比前項(xiàng)，即證是常數(shù)，這由已知易得，同時(shí)要說明；（2）由（1）是公比為的等比數(shù)列，因此它的通項(xiàng)公式可很快求得，即，從而，這個(gè)數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘所得，因此其前項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求出；（3）這里我們首先要求出，由（2）可得，集合M=恰有4個(gè)元素，即中只有4個(gè)不同的值不小于，故要研究數(shù)列中元素的大小，可從單調(diào)性考慮，作差，可見，，再計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，因此應(yīng)該滿足．
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041306590406.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)時(shí)，.
又，（）為常數(shù)，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
（2）由是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列得，
所以.
由錯(cuò)項(xiàng)相減得.
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041306808396.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
由于
所以，，.
因?yàn)榧��?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041306871488.png" style="vertical-align:middle;" />恰有4個(gè)元素，且，
所以.