例2．△ABC中，求證：
aA+bB+cC
a+b+c
≥
π
3
．
分析：根據(jù)三角形大角對(duì)大邊，可知（a-b）（A-B）≥0，（b-c）（B-C）≥0，（c-a）（C-A）≥0，三式展開相加得后，左右同時(shí)加：aA+bB+cC得得3（aA+bB+cC）≥（a+b+c）（A+B+C）=π（a+b+c） 原式得證．
解答：證明：根據(jù)三角形大角對(duì)大邊，有
（a-b）（A-B）≥0，（b-c）（B-C）≥0，（c-a）（C-A）≥0．
上述三式展開相加得：
2（aA+bB+cC）≥（b+c）A+（c+a）B+（a+b）C
上式左右同時(shí)加：aA+bB+cC得：
3（aA+bB+cC）≥（a+b+c）（A+B+C）=π（a+b+c）
故得
aA+bB+cC
a+b+c
≥
π
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了不等式的證明．解題的關(guān)鍵是利用三角形大角對(duì)大邊的性質(zhì)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．
（1）若a=
2
，b=
3
，A=
π
4
，求邊c的長(zhǎng)；
（2）請(qǐng)?zhí)骄浚骸癆＞B?sinA＞sinB”是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)舉反例說明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年福建省三明九中高三（上）第一次段考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．
（1）若a=，b=，A=，求邊c的長(zhǎng)；
（2）請(qǐng)?zhí)骄浚骸癆＞B?sinA＞sinB”是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)舉反例說明．

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