一個(gè)四棱錐的三視圖和直觀圖如圖所示,E為側(cè)棱PD的中點(diǎn).
(1)求證:PB∥平面AEC;
(2)若F為側(cè)棱PA上的一點(diǎn),且,則λ為何值時(shí),PA⊥平面BDF?并求此時(shí)幾何體F-BDC的體積.

【答案】分析:(1)由三視圖可知該四棱錐底面為有一角為60°,邊長為2的菱形,高為1的棱錐,頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心,連接EO,利用三角形中位線定理和線面平行的判定定理即可證明結(jié)論;
(2)考慮到PA與BD垂直,故只需過O作PA的垂線,垂足F即為所求點(diǎn)F,如此再利用線面垂直的判定定理證明結(jié)論,求椎體的體積關(guān)鍵是求高,可過F作FH∥PO,則FH即為所求高,最后利用椎體體積計(jì)算公式即可得結(jié)果
解答:解:(1)由圖形可知該四棱錐的底面ABCD是菱形,
且有一角為60°,邊長為2,錐體高度為1.
設(shè)AC,BD和交點(diǎn)為O,連OE,OE為△DPB的中位線,OE∥PB,EO?面EAC,PB?面EAC內(nèi),
∴PB∥面AEC.
(2)過O作OF⊥PA垂足為F
在Rt△POA中,PO=1,AO=,PA=2,PO2=PF•PA,2PF=1

在底面菱形中BD⊥AC,又因?yàn)镻O⊥面ABCD,
所以BD⊥PO,
∴BD⊥面APO,PA?面APO
∴PA⊥BD,PA⊥OF,OF∩BD=O
所以PA⊥平面BDF
∴當(dāng)λ=時(shí),PA⊥平面BDF
當(dāng)時(shí),在△POA中過F作FH∥PO,則FH⊥面BCD,F(xiàn)H=
,

點(diǎn)評:本題主要考查了空間線面平行的判定定理,線面垂直的判定定理,椎體體積的計(jì)算公式,由于點(diǎn)F為動(dòng)點(diǎn),故本題屬探究型題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一個(gè)四棱錐的三視圖和直觀圖如圖所示,E為側(cè)棱PD的中點(diǎn).
(1)指出幾何體的主要特征(高及底的形狀);
(2)求證:PB∥平面AEC;
(3)若F為側(cè)棱PA上的一點(diǎn),且
PFFA
,則λ為何值時(shí),PA⊥平面BDF?并求此時(shí)直線EC與平面BDF所成角的正弦值.
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一個(gè)四棱錐的三視圖和直觀圖如圖所示,E為側(cè)棱PD的中點(diǎn).
(1)求證:PB∥平面AEC;
(2)若F為側(cè)棱PA上的一點(diǎn),且
PFFA
,則λ為何值時(shí),PA⊥平面BDF?并求此時(shí)幾何體F-BDC的體積.

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一個(gè)四棱錐的三視圖和直觀圖如圖所示,E為側(cè)棱PD的中點(diǎn).

(1)求證:PB//平面AEC;  

(2)若F為側(cè)棱PA上的一點(diǎn),且, 則為何值時(shí),PA平面BDF? 并求此時(shí)幾何體F—BDC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年廣東省東莞市高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

一個(gè)四棱錐的三視圖和直觀圖如圖所示,E為側(cè)棱PD的中點(diǎn).
(1)指出幾何體的主要特征(高及底的形狀);
(2)求證:PB∥平面AEC;
(3)若F為側(cè)棱PA上的一點(diǎn),且,則λ為何值時(shí),PA⊥平面BDF?并求此時(shí)直線EC與平面BDF所成角的正弦值.

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