Question

13．已知函數(shù)f（x）=x-alnx，a∈R．
（Ⅰ）研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）有兩個不同的零點x₁、x₂，且x₁＜x₂．
（1）求a的取值范圍；               
（2）求證：x₁x₂＞e²．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的定義域（0，+∞），求出$f'（x）=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}$，通過①若a≤0，②若a＞0，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，推出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
（Ⅱ）f（x）有兩個不同的零點，推出$\left\{{\begin{array}{l}{a＞0}\\{f（a）=a-alna＜0}\end{array}}\right.⇒a＞e$，且0＜x₁＜a＜x₂，要證${x_1}{x_2}＞{e^2}$，即證lnx₁+lnx₂＞2，轉(zhuǎn)化為f（x₂）＞f（2a-x₁），設(shè)g（x）=f（x）-f（2a-x），x∈（0，a），只需證g（x）＞0通過導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性判斷證明即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域（0，+∞），$f'（x）=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}$…..（2分）
①若a≤0，則f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增函數(shù)．
②若a＞0，令f'（x）=0解得x=a，
則f（x）在（0，a）單調(diào)遞減，在（a，+∞）單調(diào)遞增；…．（4分）
（Ⅱ）證明：因為f（x）有兩個不同的零點，由①知$\left\{{\begin{array}{l}{a＞0}\\{f（a）=a-alna＜0}\end{array}}\right.⇒a＞e$…（6分）
且0＜x₁＜a＜x₂，要證${x_1}{x_2}＞{e^2}$，即證lnx₁+lnx₂＞2$?\frac{x_1}{a}+\frac{x_2}{a}＞2?{x_1}+{x_2}＞2a?{x_2}＞2a-{x_1}$
由于a＞x₁，則2a-x₁＞a，即證f（x₂）＞f（2a-x₁）?f（x₁）＞f（2a-x₁）…（8分）
設(shè)g（x）=f（x）-f（2a-x），x∈（0，a），只需證g（x）＞0即可，
g（x）=（x-alnx）-[（2a-x）-aln（2a-x）]，
$g'（x）=1-\frac{a}{x}+1-\frac{a}{2a-x}=-2\frac{{{{（{x-a}）}^2}}}{{x（{2a-x}）}}＜0$…（10分）
可知g（x）在x∈（0，a）是單調(diào)遞減函數(shù)，故g（x）＞g（a）=0，
得證.${x_1}{x_2}＞{e^2}$…..（12分）

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查分類討論思想的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．