Question

8．已知點(diǎn)P為圓C：（x-2）²+（y-3）²=4上一動點(diǎn)，點(diǎn)A（4，0），且$\overrightarrow{AQ}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AP}$，求動點(diǎn)Q的軌跡．

Answer 1

分析 由圓的參數(shù)方程得P（2+2cosθ，3+2sinθ），0≤θ≤2π．設(shè)Q（x，y），由已知得（x-4，y）=（$\frac{2cosθ-2}{3}$，$\frac{3+2sinθ}{3}$），由此能求出動點(diǎn)Q的軌跡．

解答 解：∵點(diǎn)P為圓C：（x-2）²+（y-3）²=4上一動點(diǎn)，
∴P（2+2cosθ，3+2sinθ），0≤θ≤2π．
設(shè)Q（x，y），∵A（4，0），$\overrightarrow{AQ}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AP}$，
∴（x-4，y）=$\frac{1}{3}$（2cosθ-2，3+2sinθ）=（$\frac{2cosθ-2}{3}$，$\frac{3+2sinθ}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-4=\frac{2cosθ-2}{3}}\\{y=\frac{3+2sinθ}{3}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2cosθ=3x-10}\\{2sinθ=3y-3}\end{array}\right.$．∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}cosθ=x-\frac{10}{3}}\\{\frac{2}{3}sinθ=y-1}\end{array}\right.$，
∴（x-$\frac{10}{3}$）²+（y-1）²=$\frac{4}{9}$．
∴動點(diǎn)Q的軌跡是以（$\frac{10}{3}$，1）為圓心、以$\frac{2}{3}$為半徑的圓，其方程為（x-$\frac{10}{3}$）²+（y-1）²=$\frac{4}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查動點(diǎn)的軌跡方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的參數(shù)方程、向量知識、圓的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識點(diǎn)的合理運(yùn)用．