Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)與直線y=x+1交于P，Q兩點 且|PQ|=

10

2

，a²+b²=2a²b²．求橢圓方程．

Answer 1

分析：把直線y=x+1代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，得b²x²+a²（x+1）²=a²b²，所以（a²+b²）x²+2a²x+a²=a²b²，由a²+b²=2a²b²，得2b²x²+2x+1-b²=0，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=-

2

2b2

，x1x2=

1-b2

2b2

，k=1，故|PQ|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2-4b2+4b4

b2

=

10

2

，由此能求出橢圓方程．

解答：解：把直線y=x+1代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
得b²x²+a²（x+1）²=a²b²，
∴（a²+b²）x²+2a²x+a²=a²b²，
∵a²+b²=2a²b²，
∴2a²b²x²+2a²x+a²=a²b²，
∴2b²x²+2x+1-b²=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x1+x2=-

2

2b2

，x1x2=

1-b2

2b2

，k=1，
∴|PQ|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2( 1 b4 - 2-2b2 b2 )

=

2-4b2+4b4

b2

=

10

2

，
解得b²=2或b2=

2

3

．
當b²=2時，由a²+b²=2a²b²，解得a²=

2

3

（舍）
當b2=

2

3

時，由a²+b²=2a²b²，解得a²=2．
∴橢圓方程為：

x2

2

+

3

2

y2=1．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．