Question

某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到了一聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到的時(shí)間比其他兩觀測(cè)點(diǎn)晚4s．已知各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離都是1020m．試確定該巨響發(fā)生的位置．（假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/s：相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上）

Answer 1

分析：以接報(bào)中心為原點(diǎn)O，正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測(cè)點(diǎn)，則A（-1020，0），B（1020，0），C（0，1020），P（x，y）為巨響為生點(diǎn)，由雙曲線定義知P點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上，依題意能求出雙曲線方程，從而確定該巨響發(fā)生的位置．

解答：解：如圖，
以接報(bào)中心為原點(diǎn)O，正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測(cè)點(diǎn)，則A（-1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
設(shè)P（x，y）為巨響為生點(diǎn)，由A、C同時(shí)聽(tīng)到巨響聲，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=-x，因B點(diǎn)比A點(diǎn)晚4s聽(tīng)到爆炸聲，故|PB|-|PA|=340×4=1360
由雙曲線定義知P點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上，
依題意得a=680，c=1020，∴b²=c²-a²=1020²-680²=5×340²
故雙曲線方程為

x2

6802

-

y2

5×3402

=1
用y=-x代入上式，得x=±680

5

，
∵|PB|＞|PA|，
∴x=-680

5

，y=680

5

，即P(-680

5

，680

5

)，故PO=680

10

答：巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北45⁰距中心680

10

m處．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)由題設(shè)條件作出圖形，數(shù)形結(jié)合效果很好．