Question

1．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$，則數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n=（　　）

• A． 2ⁿ-1
• B． $\sqrt{\frac{{4}^{n}-1}{3}}$
• C． $\frac{{2}^{n}-1}{3}$
• D． $\frac{{2}^{n+1}-3}{3}$

Answer 1

分析 由等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和求出首項(xiàng)和公比，進(jìn)一步得到數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}}$}的首項(xiàng)和公比，再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和得答案．

解答 解：由S_n=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$，得a₁=S₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{4}^{n}-1}{3}-\frac{{4}^{n-1}-1}{3}$=4^n-1．
驗(yàn)證a₁=1適合上式，
∴${a}_{n}={4}^{n-1}$，則等比數(shù)列{a_n}的公比q=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{{4}^{n}}{{4}^{n-1}}=4$．
∴數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}}$}的首項(xiàng)為$\sqrt{{a}_{1}}=1$，公比為2．
∴數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n}-1$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查等比關(guān)系的確定，是中檔題．