如果直線過(guò)雙曲線k的左焦點(diǎn)F和點(diǎn)B（0，b），且與雙曲線左支交于點(diǎn)P，若
FP
=
1
2
PB
，那么該雙曲線的離心率e等于
10
2
10
2
．
分析：先設(shè)出雙曲線方程，則F，B的坐標(biāo)可得，根據(jù)向量條件得出P的坐標(biāo)，進(jìn)而將P的坐標(biāo)代入雙曲線方程求得a，c的關(guān)系式，則雙曲線的離心率可得．
解答：解：設(shè)雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，
則F（-c，0），B（0，b）
∵
FP
=
1
2
PB
，∴P（-
2
3
c，
1
3
b）將P的坐標(biāo)代入雙曲線方程得：
(-
2
3
c)2
a2
-
(
1
3
b)2
b2
=1，即
c 2
a 2
=
5
2

所以
c
a
=
10
2
，
故答案為：
10
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的焦點(diǎn)、虛軸、離心率，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了方程思想．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右頂點(diǎn)為A（2，0），右焦點(diǎn)為F、O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F，A到漸近線的距離之比為
5
2
，過(guò)點(diǎn)B（0，2）且斜率為k的直線l與該雙曲線交于不同的兩點(diǎn)P，Q．
（I）求雙曲線的方程及k的取值范圍；
（II）是否存在常數(shù)k，使得向量
OP
+
OQ
與
AB
垂直？如果存在，求k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右頂點(diǎn)為A（2，0），一條漸近線為y=
1
2
x，過(guò)點(diǎn)B（0，2）且斜率為k的直線l與該雙曲線交于不同的兩點(diǎn)P，Q．
（I）求雙曲線的方程及k的取值范圍；
（II）是否存在常數(shù)k，使得向量
OP
+
OQ
與
AB
垂直？如果存在，求k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

如果直線過(guò)雙曲線k的左焦點(diǎn)F和點(diǎn)B（0，b），且與雙曲線左支交于點(diǎn)P，若數(shù)學(xué)公式，那么該雙曲線的離心率e等于________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知雙曲線數(shù)學(xué)公式的右頂點(diǎn)為A（2，0），右焦點(diǎn)為F、O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F，A到漸近線的距離之比為數(shù)學(xué)公式，過(guò)點(diǎn)B（0，2）且斜率為k的直線l與該雙曲線交于不同的兩點(diǎn)P，Q．
（I）求雙曲線的方程及k的取值范圍；
（II）是否存在常數(shù)k，使得向量數(shù)學(xué)公式垂直？如果存在，求k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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