設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足y+x2=0,0<a<1.求證:loga(ax+ay)<loga2+
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分析:利用放縮法解決.先利用基本不等式將待證不等式的左式進(jìn)行放縮,ax+ay≥2
ax+y
=2
ax-x2
,再利用二次函數(shù)的最值進(jìn)行放縮即可得.
解答:證明:∵ax>0,ay>0,
∴ax+ay≥2
ax+y
=2
ax-x2

∵x-x2=
1
4
-(x-
1
2
2
1
4
,0<a<1,
∴ax+ay≥2
a
1
4
=2a
1
8

∴l(xiāng)oga(ax+ay)<loga2a
1
8
=loga2+
1
8
;
故原等式得證.
點(diǎn)評(píng):在證明不等式的時(shí)候,在直接證明遇到困難的時(shí)候,可以利用不等式的傳遞性,把要證明的不等式加強(qiáng)為一個(gè)易證的不等式,即欲證A>B,我們可以適當(dāng)?shù)恼乙粋(gè)中間量C作為媒介,證明A>C且C>B,從而得到A>B.我們把這種把B放大到C(或把A縮小到C)的方法稱為放縮法.
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證明下列不等式:
(1)a,b都是正數(shù),且a+b=1,求證:(1+
1
a
)(1+
1
b
)≥9
;
(2)設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足y+x2=0,且0<a<1,求證:loga(ax+ay)<
1
8
+loga2

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y≥x
y+x≤4
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2y+x-11≤0
,則
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x
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證明下列不等式:
(1)a,b都是正數(shù),且a+b=1,求證:;
(2)設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足y+x2=0,且0<a<1,求證:

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