Question

設f(k)是滿足不等式log₂x+log₂(3·2^k-1-x)≥2k-1(k∈N)的自然數的個數.

(1)求f(k)的解析式；

(2)記S_n=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n),求S_n的解析式；

(3)令P_n=n²+n-1(n∈N^*),試比較S_n與P_n的大小.

Answer 1

解：先由條件解關于x的不等式,從而求出f(k).

(1)

    即

∴2^k-1≤x≤2^k.當k=0時,≤x≤1,∴f(k)=1.當k∈N^*時,f(k)=2^k-2^k-1+1=2^k-1+1.

∴f(k)=

(2)S_n=f(1)+f(2)+…+f(n)=2⁰+2¹+…+2^n-1+n=2ⁿ+n-1.

(3)S_n-P_n=2ⁿ-n²,

    當n=1時,2¹-1²＞0；

    當n=2時,2²-2²=0；

    當n=3時,2³-3²＜0；

    當n=4時,2⁴-4²=0；

    當n=5時,2⁵-5²＞0.

    猜想:n≥5時,S_n＞P_n.

    下面用數學歸納法證明:

①當n=5時,2⁵＞5².

②假設n=k(k≥5)時,S_n＞P_n,即2^k＞k²,

    那么2^k+1=2·2^k＞2k²=k²+2k+1+k²-2k-1=(k+1)²+[k(k-2)-1].

∵k≥5,∴k(k-2)-1＞0.

∴(k+1)²+[k(k-2)-1]＞0,

    即2^k+1＞(k+1)².∴當n=k+1時,S_n＞P_n.

    由①②知n∈N,n≥5時,S_n＞P_n.

    綜上,n=1或n≥5時,S_n＞P_n；

n=2或n=4時,S_n=P_n；n=3時,S_n＜P_n.