已知矩陣A=
1a
-1b
，A的一個特征值λ=2，其對應(yīng)的特征向量是α1=
2
1
．
（1）求矩陣A；
（2）若向量β=
7
4
，計算A5β的值．
分析：（1）由題意知：A
α
=λ
α
（
α
為特征向量，λ為特征值），利用矩陣的乘法法則化簡求出a與b的值，代入矩陣A即可；
（2）根據(jù)矩陣A的特征多項式求出矩陣A的所有特征值為2和3，得到A=2
2
1
=3
1
1
①，然后根據(jù)特征向量線性表示出向量β，利用矩陣的乘法法則求出β=3α1+α2②，將①和②代入A5β中求出值即可．
解答：解：（1）由題知：
1a
-1b
2
1
=2
2
1
，即2+a=4，-2+b=2，解得a=2，b=4，
所以A=
12
-14
；
（2）矩陣A的特征多項式為f(λ)=
.
λ-1
1
-2
λ-4
.
=λ2-5λ+6=0，
得λ1=2，λ2=3，
當(dāng)λ1=2時，α1=
2
1
，當(dāng)λ2=3時，得α2=
1
1
． 則A=2
2
1
=3
1
1

由β=mα1+nα2=m
2
1
+n
1
1
=
7
4
得：
2m+n=7
m+n=4
解得
m=3
n=1
，則β=3α1+α2
∴A5β=A5（3α1+α2）=3（A5α1）+A5α2=3(
λ
5
1
α1)+
λ
5
2
α2=3×25
2
1
+35
1
1
=
435
339
．
點評：考查學(xué)生會利用二階矩陣的乘法法則進(jìn)行運算，會求矩陣的特征值和特征向量．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個選擇題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
（1）．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
1a
-1b
，A的一個特征值λ=2，其對應(yīng)的特征向量是α1=
2
1
．
（Ⅰ）求矩陣A；
（Ⅱ）若向量β=
7
4
，計算A2β的值．

（2）．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2=
12
3cos2θ+4sin2θ
，點F1，F(xiàn)2為其左、右焦點，直線l的參數(shù)方程為
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
（t為參數(shù)，t∈R）．求點F1，F(xiàn)2到直線l的距離之和．
（3）．選修4-5：不等式選講
已知x，y，z均為正數(shù)．求證：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

矩陣與變換．已知矩陣A=
1a
-1b
，A的一個特征值λ=2，屬于λ的特征向量是
α1
=
2
1
，求矩陣A與其逆矩陣．
坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知直線l的極坐標(biāo)方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0．以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，在曲線C：
x=-1+cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù))上求一點，使它到直線l的距離最小，并求出該點坐標(biāo)和最小距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-4：矩陣與變換
已知矩陣A=
.
1a
-1b
.
，A的一個特征值λ=2，其對應(yīng)的特征向量是α1=
.
2
1
.
．
（Ⅰ）求矩陣A；
（Ⅱ）求直線y=2x在矩陣M所對應(yīng)的線性變換下的像的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知矩陣A=
1a
-1b
，A的一個特征值λ=2，其對應(yīng)的特征向量是α1=
2
1
．
（1）求矩陣A；
（2）若向量β=
7
4
，計算A5β的值．

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