Question

17．設函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數(shù)．
（Ⅰ）若f（1）＞0，解不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0；
（Ⅱ）若f（1）=$\frac{3}{2}$，求g（x）=a^2x+a^-2x-4f（x）在[1，+∞）上的最小值，并求此時x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）為R上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，求得k=1，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）為R上的增函數(shù)，不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0可化為x²+2x＞4-x，解不等式即可得到所求解集；
（Ⅱ）由f（1）=$\frac{3}{2}$，解得a=2，可得g（x）=2^2x+2^-2x-4（2^x-2^-x），令t=h（x）=2^x-2^-x，（x≥1），求得t的范圍，可得g（t）=t²-4t+2=（t-2）²-2，由二次函數(shù)的最值求法，可得最小值及對應的x值．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）為R上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，
即有k-1=0，解得k=1．
即f（x）=a^x-a^-x，f（1）＞0即為a-a^-1＞0，解得a＞1．
由y=a^x遞增，y=a^-x遞減，可得f（x）為R上的增函數(shù)，
不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0即為
f（x²+2x）＞-f（x-4）=f（4-x），
即有x²+2x＞4-x，解得x＞1或x＜-4，
則解集為（-∞，-4）∪（1，+∞）；
（Ⅱ）由f（1）=$\frac{3}{2}$，即a-a^-1=$\frac{3}{2}$，解得a=2（-$\frac{1}{2}$舍去），
即有g（x）=a^2x+a^-2x-4f（x）=2^2x+2^-2x-4（2^x-2^-x），
令t=h（x）=2^x-2^-x，（x≥1），由h（x）在[1，+∞）遞增，
可得t=h（x）≥h（1）=$\frac{3}{2}$，即有g（t）=t²-4t+2=（t-2）²-2，
當t=2時，g（t）取得最小值-2，
即有x=log₂（1+$\sqrt{2}$），g（x）取得最小值-2．

點評 本題考查函數(shù)的性質和運用，主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用，考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．