Question

已知函數f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3）（0＜a＜1）．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）求函數f（x）的零點；
（3）若函數f（x）的最小值為-2，求a的值．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據對數的定義，真數需要大于0，列不等式解得即可．
（2）函數的零點也是就方程的解，解方程即可，需要判斷所求的解在不在x的定義域內．
（3）根據對數函數是減函數，求出f（x）的最值，然后代入求解．

解答： 解：（1）要使函數有意義：則有

1-x＞0 x+3＞0

，解之得：-3＜x＜1，
所以函數的定義域為：（-3，1）
（2）函數可化為f（x）=log_a（1-x）（x+3）=log_a（-x²-2x+3），
由f（x）=0，得-x²-2x+3=1，
即x²+2x-2=0，
解得x=-1±

3

，
∵x=-1±

3

∈（-3，1），
∴f（x）的零點是-1±

3

；
（3）函數可化為：函數可化為f（x）=log_a（1-x）（x+3）=log_a（-x²-2x+3）=log_a[-（x+1）²+4]，
∵-3＜x＜1，
∴0＜-（x+1）²+4≤4，
∵0＜a＜1，
∴l(xiāng)og_a[-（x+1）²+4]≥log_a4
即f（x）_min=log_a4，
由題知，log_a4=-2，
∴a^-2=4
∴a=

1

2

點評：本題主要考查了對數函數的定義和性質以及函數的零點問題，靈活轉化函數的形式是關鍵，屬于中檔題．