已知動圓M和圓C1:(x+1)2+y2=9內(nèi)切,并和圓C2:(x-1)2+y2=1外切.
(1)求動圓圓心M的軌跡方程;
(2)過圓C1和圓C2的圓心分別作直線交(1)中曲線于點B、D和A、C,且AC⊥BD,垂足為P(x0,y0),設(shè)點E(-2,-1),求|PE|的最大值;
(3)求四邊形ABCD面積的最小值.
分析:(1)根據(jù)兩圓外切和內(nèi)切的判定,圓心距與兩圓半徑和差的關(guān)系,設(shè)出動圓半徑為r,消去r,根據(jù)圓錐曲線的定義,即可求得動圓圓心M的軌跡,進(jìn)而可求其方程.
(2)首先有點P在以線段C1C2為直徑的圓上,再表達(dá)出|PE|,從而求出最大值;
(3)分兩類:①當(dāng)AC⊥x軸或BD⊥x軸時,②當(dāng)AC、BD均不垂直于x軸時,聯(lián)立直線與橢圓方程,從而表達(dá)出BD,AC的長,進(jìn)而可求面積最小,將兩者比較,可得結(jié)論.
解答:解:(1)設(shè)動圓圓心為M(x,y),半徑為r,則
 |MC1 =3-r
 |MC2 =1+r
  ⇒ |MC1|+|MC2| =4
.…(3分)
故動點M的軌跡是橢圓,a=2 , c=1 , b=
3
,其方程為
x2
4
+
y2
3
=1
.…(5分)
(2)顯然點P在以線段C1C2為直徑的圓上,x02+y02=1.…(7分)
設(shè)
x0=cosθ
y0=sinθ
,則|PE| =
(cosθ+2)2+(sinθ+1)2
=
6+4cosθ+2sinθ
=
6+2
5
sin (θ+?)
,
故所求最大值為
6+2
5
=
5
+1
.(也可數(shù)形結(jié)合,求得|PE|max = |EO|+1=
5
+1
.)…(10分)
(3)當(dāng)AC⊥x軸或BD⊥x軸時,S=
1
2
|BD|•|AC| =
1
2
•4•3=6
.…(11分)
當(dāng)AC、BD均不垂直于x軸時,聯(lián)立
3x2+4y2=12
y=k ( x+1 )
⇒( 3+4k2x2+8k2x+4k2-12=0
,…(12分)|BD| =
1+k2
•|x1-x2| =
1+k2
144 ( 1+k2)
3+4k2
=
12 ( 1+k2)
3+4k2
,同理可得|AC| =
12 ( k2+1 )
3k2+4
.…(14分)S=
1
2
|BD|•|AC| =
72 k2+1 )2
( 3+4k2) ( 3k2+4 )
72 k2+1 )2
7k2+7
2
 )
2
=
288
49
,當(dāng)且僅當(dāng)k2=1時,Smin=
288
49
.(15分)
6>
288
49
,∴四邊形ABCD面積的最小值為
288
49
.…(16分)
點評:本題主要考查兩圓的位置關(guān)系及判定方法和橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,考查最值問題
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x2
49
+
y2
45
=1
x2
49
+
y2
45
=1

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x2-
y2
8
=1(x<0)
x2-
y2
8
=1(x<0)

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