Question

設(shè)橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，下頂點(diǎn)為A，線段OA的中點(diǎn)為B（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），如圖．若拋物線C₂：y=x²-1與y軸的交點(diǎn)為B，且經(jīng)過(guò)F₁，F(xiàn)₂點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)M（0，-

4

5

），N為拋物線C₂上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作拋物線C₂的切線交橢圓C₁于P、Q兩點(diǎn)，求△MPQ面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）拋物線C₂：y=x²-1與y軸的交點(diǎn)為B，且經(jīng)過(guò)F₁，F(xiàn)₂點(diǎn)．求出B，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出橢圓的半長(zhǎng)軸與半焦距，再求出a寫(xiě)出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)N（t，t²-1），表示出過(guò)點(diǎn)N的拋物線的切線方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式表示出線段PQ的長(zhǎng)度，再求出點(diǎn)M到直線PQ的距離為d，表示出△MPQ面積，由于其是參數(shù)t的函數(shù)，利用函數(shù)的知識(shí)求出其最值即可得到，△MPQ的面積的最大值

解答：解：（Ⅰ）由題意可知B（0，-1），則A（0，-2），故b=2．
令y=0得x²-1=0即x=±1，則F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），故c=1．
所以a²=b²+c²=5．于是橢圓C₁的方程為：

x2

5

+

y2

4

=1．（3分）
（Ⅱ）設(shè)N（t，t²-1），由于y'=2x知直線PQ的方程為：y-（t²-1）=2t（x-t）．即y=2tx-t²-1．（4分）
代入橢圓方程整理得：4（1+5t²）x²-20t（t²+1）x+5（t²+1）²-20=0，△=400t²（t²+1）²-80（1+5t²）[（t²+1）²-4]=80（-t⁴+18t²+3），x1+x2=

5t(t2+1)

1+5t2

，x1x2=

5(t2+1)2-20

4(1+5t2)

，
故|PQ|=

1+4t2

|x1-x2|=

1+4t2

.

(x1+x2)2-4x1x2

=

5 • 1+4t2 • -t4+18t2+3

1+5t2

．（7分）
設(shè)點(diǎn)M到直線PQ的距離為d，則d=

| 4 5 -t2-1|

1+4t2

=

|t2+ 1 5 |

1+4t2

．（9分）
所以，△MPQ的面積S=

1

2

|PQ|•d=

1

2

5 • 1+4t2 • -t4+18t2+3

1+5t2

•

t2+ 1 5

1+4t2

=

5

10

-t4+18t2+3

=

5

10

-(t2-9)2+84

≤

5

10

84

=

105

5

（11分）
當(dāng)t=±3時(shí)取到“=”，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)△＞0，滿足題意．
綜上可知，△MPQ的面積的最大值為

105

5

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的綜合，解題的關(guān)鍵是利用拋物線的方程求出橢圓方程中參數(shù)的值，以及利用拋物線線上的點(diǎn)的切線方程與圓聯(lián)立利用弦長(zhǎng)公式與點(diǎn)到直線的距離公式分別求出三角形的底邊長(zhǎng)度與高，表示出△MPQ的面積利用函數(shù)的知識(shí)求出最值，本題綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大，要避免運(yùn)算出錯(cuò)，變形出錯(cuò)．