已知
a
=(2sinx，-
3
)，
b
=(sinx，sin2x)，x∈[
π
4
，
π
2
]．
（1）若
a
⊥
b
，求x的值；
（2）若f(x)=
a
•
b
，求f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x值；
（3）令g(x)=f(x+
π
6
)，判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并說明理由．
分析：（1）通過
a
⊥
b
，得到數(shù)量積為0，化簡函數(shù)表達式，即可求x的值；
（2）通過數(shù)量積求出函數(shù)的表達式，然后化簡為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后求f（x）的最大值及使f（x）取得最大值的x值；
（3）通過g(x)=f(x+
π
6
)，求出函數(shù)的表達式，利用奇偶性的定義直接判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，即可．
解答：解：（1）
a
=(2sinx，-
3
)，
b
=(sinx，sin2x)，
a
⊥
b
所以
a
•
b
=0，(2sinx，-
3
)•(sinx，sin2x)=0，
2sin2x-
2
sin2x=0即cos2x+
3
sin2x=0，tan2x=-
3
3
，x∈[
π
4
，
π
2
]，所以x=
5π
12
；
（2）由（1）可知：f(x)=
a
•
b
=cos2x+
3
sin2x=2sin（2x+
π
6
），所以函數(shù)的最大值為：2，此時2x+
π
6
=
π
2
+2kπ，k∈Z；
所以x=kπ+
π
6
，k∈Z；
（3）因為g(x)=f(x+
π
6
)=2sin（2x+
π
3
+
π
6
）=2cos2x，
因為g（-x）=2cos（-2x）=2cos2x=g（x），所以函數(shù)是偶函數(shù)．
點評：本題是中檔題，通過向量的數(shù)量積，考查函數(shù)的基本性質(zhì)，最大值，奇偶性的判斷，函數(shù)值的求法，考查計算能力，常考題型．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，2cosx)，且f(x)=
a
•
b
-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（2）若x∈[0，
π
2
]，求函數(shù)f（x）的最大值與最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，2cosx)，函數(shù)f(x)=
a
•
b

（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當x∈[-
π
6
，
π
2
]時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=(2sinx，cosx+sinx)，
b
=(cosx，cosx-sinx)，函數(shù)f(x)=
a
•
b
，
（1）求函數(shù)的解析式及函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(cosx，-2cosx)，若f（x）=
a
•
b
+1，求：
（1）f（x）的表達式及周期
（2）y=lg[f（x）]的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=(2sinx，
2
cos(x-
π
2
)+1)，
b
=(cosx，
2
cos(x-
π
2
)-1)，設(shè)f(x)=
a
•
b
．
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別為A，B，C的對邊，且a=2，f（A）=1，b=
6
，求邊c．

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