(山東卷理21)已知函數(shù)其中n∈N*,a為常數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)n=2時,求函數(shù)f(x)的極值;

(Ⅱ)當(dāng)a=1時,證明:對任意的正整數(shù)n,當(dāng)x≥2時,有f(x)≤x-1.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】

(I)的定義域?yàn)?sub>,當(dāng)

1)當(dāng)時,由

當(dāng)時,單調(diào)遞減;

當(dāng)時,單調(diào)遞增。

2)當(dāng)恒成立,無極值。

縱上可知時,

當(dāng)處取得極小值為

當(dāng)無極值。

(II)當(dāng)時,

當(dāng)時,對任意恒有,故只需證。

,

上單調(diào)遞增,即上恒成立,而

恒成立,

因此,當(dāng)時,恒有

【試題分析】:第一問對討論時要注意一些顯而易見的結(jié)果,當(dāng)恒成立,無極值。第二問需要對構(gòu)造的新函數(shù)進(jìn)行“常規(guī)處理”,即先證單調(diào)性,然后求最值 ,最后作出判斷。

【高考考點(diǎn)】: 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、構(gòu)造函數(shù)證明不等式

【易錯提醒】: 沒有注意該函數(shù)定義域?qū)栴}的影響,分類討論無目標(biāo),判斷的正負(fù)漏掉符號。

【備考提示】: 函數(shù)類問題的解題方法要內(nèi)悟、歸納、整理,使之成為一個系統(tǒng),在具體運(yùn)用時自如流暢,既要具有一定的思維定向,也要謹(jǐn)防盲目套用。此類問題對轉(zhuǎn)化能力要求很高,不能有效轉(zhuǎn)化是解題難以突破的主要原因,要善于構(gòu)造函數(shù)證明不等式,從而體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的工具性

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(山東卷理21)已知函數(shù)其中n∈N*,a為常數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)n=2時,求函數(shù)f(x)的極值;

(Ⅱ)當(dāng)a=1時,證明:對任意的正整數(shù)n,當(dāng)x≥2時,有f(x)≤x-1.

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