Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x2+1

-ax（a＞0），求a的取值范圍，使函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求f′（x），討論a的取值，并判斷f′（x）的符號(hào)，從而判斷出f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，找出使f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)的a的取值范圍即可．

解答： 解：f′（x）=

x

x2+1

-a=

(1-a2)x2-a2

x2+1 (x+a x2+1 )

；
①若a=1，則在（0，+∞）上f′（x）＜0，所以滿足f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)；
②若a＞1，1-a²＜0，則在（0，+∞）上f′（x）=

(1-a2)(x2- a2 1-a2 )

x2+1 (x+a x2+1 )

＜0，滿足f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)；
③若0＜a＜1，1-a²＞0，則在（0，+∞）上f′（x）＞0，或f′（x）＜0，即f（x）在（0，+∞）上沒有單調(diào)性；
∴綜上得a的取值范圍為[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：考查根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)．