Question

矩陣與變換和坐標系與參數方程”模塊
過點P（-3，0）且傾斜角為30°的直線和曲線C：

x=t+ 1 t y=t- 1 t

（t為參數）相交于A、B兩點．求：
（1）曲線C的普通方程；
（2）線段AB的長．

Answer 1

分析：（1）將參數t消掉，得到關于x．y的關系，即曲線C的普通方程；（2）利用弦長公式求線段AB的長．

解答：解：（1）將曲線C方程中兩等式分別平方即

x2=t2+ 1 t2 +2 ① y2=t2+ 1 t2 -2 ②

①式減②式得：x²-y²=4    
 所以曲線C的普通方程為x²-y²=4；
（2）根據題意可得直線方程為y=

3

3

x+

3

，
聯(lián)立y=

3

3

x+

3

與x²-y²=4，有

x2-y2=4 y= 3 3 x+ 3

，
消元化簡得2x²-6x-21=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x1+x2=3，x1•x2=-

21

2

，
所以由弦長公式得|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+( 3 3 )2

•

32-4×(- 21 2 )

=2

17

故線段AB的長為2

17

．

點評：此題（1）考察參數方程化成普通方程，采用消元法求解；（2）考察直線方程與曲線方程交點之間的距離，若聯(lián)立方程后求交點利用兩點間的距離公式計算量大易出錯，而采用弦長公式則可使計算簡化，不易出錯，因此注意熟練掌握弦長公式的使用．