Question

 (12分)下圖是一幾何體的直觀圖、主視圖、俯視圖、左視圖．

   （1）若F為PD的中點(diǎn)，求證：AF⊥面PCD;

   （2）證明BD∥面PEC;

   （3）求面PEC與面PDC所成的二面角（銳角）的余弦值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解: (1)由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,PA⊥面ABCD,

PA∥EB，PA=2EB=4．∵PA=AD,F為PD的中點(diǎn)，　

∴PD⊥AF，

又∵CD⊥DA,CD⊥PA,PA∩DA=A，　

∴CD⊥面ADP,

∴CD⊥AF．又CD∩DP=D,　∴AF⊥面PCD．      4分

 

 

   （2）取PC的中點(diǎn)M,AC與BD的交點(diǎn)為N，連結(jié)MN，

∴MN=PA，MN∥PA，

∴MN=EB,MN∥EB，故四邊形BEMN為平行四邊形，

∴EM∥BN，又EM面PEC,∴BD∥面PEC．        7分

   （3）分別以BC,BA,BE為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則C( 4,0,0)，D(4 ,4 ,0)，E(0,0,2)，A(0,4 ,0)，P(0,4,4)，

∵F為PD的中點(diǎn)，∴F(2,4,2)．

∵AF⊥面PCD，∴為面PCD的一個(gè)法向量，

=(－2,0,－2)，設(shè)平面PEC的法向量為=(x,y ,z)，

則,

  ∴,令x=1,∴,      10分

∴

∴與的夾角為．

面PEC與面PDC所成的二面角（銳角）的余弦值為．       12分