Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

sinx

2+cosx

．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明；當(dāng)a≥

1

3

時(shí)，對(duì)任何x≥0，都有f（x）≤ax．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）令g（x）=ax-f（x），求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，故當(dāng)a≥

1

3

時(shí)，g'（x）≥0，進(jìn)而問(wèn)題得證．

解答： 解（Ⅰ）f′(x)=

(2+cosx)cosx-sinx(-sinx)

(2+cosx)2

=

2cosx+1

(2+cosx)2

．
當(dāng)2kπ-

2π

3

＜x＜2kπ+

2π

3

（k∈Z）時(shí)，cosx＞-

1

2

，即f'（x）＞0；
當(dāng)2kπ+

2π

3

＜x＜2kπ+

4π

3

（k∈Z）時(shí)，cosx＜-

1

2

，即f'（x）＜0．
因此f（x）在每一個(gè)區(qū)間(2kπ-

2π

3

，2kπ+

2π

3

)（k∈Z）是增函數(shù)，
f（x）在每一個(gè)區(qū)間(2kπ+

2π

3

，2kπ+

4π

3

)（k∈Z）是減函數(shù)．
（Ⅱ）令g（x）=ax-f（x），
則g′(x)=a-

2cosx+1

(2+cosx)2

=a-

2

2+cosx

+

3

(2+cosx)2

=3(

1

2+cosx

-

1

3

)2+a-

1

3

．
故當(dāng)a≥

1

3

時(shí)，g'（x）≥0．
又g（0）=0，所以當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）≥g（0）=0，
即f（x）≤ax．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查不等式的證明，是一道中檔題．