Question

（本小題滿分12分）橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為2，，過作垂直于橢圓長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為3．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

（Ⅱ）若過的直線l交橢圓于兩點(diǎn)．并判斷是否存在直線l使得的夾角為鈍角，若存在，求出l的斜率k的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)；（Ⅱ） 。

【解析】

試題分析：(Ⅰ)依題意             2分

解得，∴橢圓的方程為：               4分

（注：也可以由，橢圓定義求得）

（Ⅱ）（i）當(dāng)過直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)，；則；5分

(ii)當(dāng)過直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線的方程為，

設(shè), 由   得：

            7分

         10分

當(dāng)的夾角為鈍角時(shí)，<0，            11分

情形（i）不滿足<0，                12分

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，向量的夾角。

點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是解析幾何的基本問題，在研究直線與橢圓的位置關(guān)系中，常常用到韋達(dá)定理，以實(shí)現(xiàn)整體代換，向量知識(shí)常在條件中出現(xiàn)，以達(dá)到綜合考查的目的。