【題目】已知橢圓 ，離心率 ，它的長軸長等于圓x2+y2﹣2x+4y﹣3=0的直徑．
（1）求橢圓 C的方程；
（2）若過點 的直線l交橢圓C于A，B兩點，是否存在定點Q，使得以AB為直徑的圓經(jīng)過這個定點，若存在，求出定點Q的坐標；若不存在，請說明理由？

【答案】
（1）

解：圓方程x2+y2﹣2x+4y﹣3=0化為（x﹣1）2+（y+2）2=8，則圓的直徑為 ，∴ ，

由 得：c=2，b2=a2﹣c2=8﹣4=4，

以橢圓C的方程：


（2）

解：過點 作斜率為0和斜率不存在的直線l交橢圓C的兩個交點為直徑的圓分別為 和x2+y2=4，這兩個圓的交點為（0，2）．

所以猜想存在點Q（0，2），使得以 AB為直徑的圓經(jīng)過這個定點．

設直線 AB的方程為 ，與橢圓 ，

聯(lián)立方程組得： ，

設交點A（x1，y1），B（x2，y2）得， ，

則

= ，

所以 ，

即以 AB為直徑的圓經(jīng)過這個定點Q（0，2）


【解析】（1）求出圓的直徑為 ，推出a，由離心率求解c，然后求解橢圓C的方程．（2）猜想存在點Q（0，2），使得以 AB為直徑的圓經(jīng)過這個定點．設直線 AB的方程為 ，與橢圓 ，聯(lián)立方程組得： ，設交點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用韋達定理，向量的數(shù)量積轉化求解即可．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某學校為了解本校學生的身體素質情況，決定在全校的1000名男生和800名女生中按分層抽樣的方法抽取45名學生對他們課余參加體育鍛煉時間進行問卷調查，將學生課余參加體育鍛煉時間的情況分三類：A類（課余參加體育鍛煉且平均每周參加體育鍛煉的時間超過3小時），B類（課余參加體育鍛煉但平均每周參加體育鍛煉的時間不超過3小時），C類（課余不參加體育鍛煉），調查結果如表：

A類

B類

C類

男生

18

x

3

女生

10

8

y


（1）求出表中x、y的值；
（2）根據(jù)表格統(tǒng)計數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為課余參加體育鍛煉且平均每周參加體育鍛煉的時間超過3小時與性別有關；

男生

女生

總計

A類

B類和C類

總計


（3）在抽取的樣本中，從課余不參加體育鍛煉學生中隨機選取三人進一步了解情況，求選取三人中男女都有且男生比女生多的概率． 附：K2=

P（K2≥k0）

0.10

0.05

0.01

k0

2.706

3.841

6.635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某電子產(chǎn)品公司前四年的年宣傳費x（單位：千萬元）與年銷售量y（單位：百萬部）的數(shù)據(jù)如下表所示：

x（單位：千萬元）

1

2

3

4

y（單位：百萬部）

3

5

6

9

可以求y關于x的線性回歸方程為 =1.9x+1．
參考公式：回歸方程 = x+ 中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：
= ， = ﹣ ．
（1）該公司下一年準備投入10千萬元的宣傳費，根據(jù)所求得的回歸方程預測下一年的銷售量m：
（2）根據(jù)下表所示五個散點數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程 = x+ ．

x（單位：千萬元）

1

2

3

4

10

y（單位：百萬部）

3

5

6

9

m

并利用小二乘法的原理說明 = x+ 與 =1.9x+1的關系．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=e2x﹣x2﹣a．
（1）證明f（x）在（﹣∞，+∞）上為增函數(shù)；
（2）當a=1時，解不等式f[f（x）]＞x；
（3）若f[f（x）﹣x2﹣2x]＞f（x）在（0，+∞）上恒成立，求a的最大整數(shù)值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中， ，點P為線段A1C上的動點（包含線段端點），則下列結論正確的 ． ①當 時，D1P∥平面BDC1；
②當 時，A1C⊥平面D1AP；
③當∠APD1的最大值為90°；
④AP+PD1的最小值為 ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2CD=2AD=2．在等腰直角三角形CDE中，∠C=90°，點M，N分別為線段BC，CE上的動點，若 ， 則 的取值范圍是 ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，某生態(tài)園將一塊三角形地ABC的一角APQ開辟為水果園，已知角A為120°，AB，AC的長度均大于200米，現(xiàn)在邊界AP，AQ處建圍墻，在PQ處圍竹籬笆．
（1）若圍墻AP、AQ總長度為200米，如何可使得三角形地塊APQ面積最大？
（2）已知竹籬笆長為 米，AP段圍墻高1米，AQ段圍墻高2米，造價均為每平方米100元，求圍墻總造價的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設橢圓C： （a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2 ， 上頂點為A，過A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于Q點，且F1恰好是線段QF2的中點．
（1）若過A、Q、F2三點的圓恰好與直線3x﹣4y﹣7=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，B是橢圓C的左頂點，過點R（ ，0）作與x軸不重合的直線l交橢圓C于E、F兩點，直線BE、BF分別交直線x= 于M、N兩點，若直線MR、NR的斜率分別為k1 ， k2 ， 試問：k1k2是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知命題：“若，則關于x的不等式的解集為空集”，那么它的逆命題，否命題，逆否命題，以及原命題中，假命題的個數(shù)是（　�。�

A.0B.2C.3D.4

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