Question

選做題（請(qǐng)考生在以下三個(gè)小題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評(píng)閱記分）
（1）（不等式選講）已知函數(shù)f（x）=log₂（|x-1|+|x-5|-a），當(dāng)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽時(shí)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______
（2）（幾何證明選講）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓上，CD⊥AB，垂足為D，且AD=5DB，設(shè)∠COD=θ，則tanθ的值為_(kāi)_______．

（3）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）圓O₁和圓O₂的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ，則經(jīng)過(guò)兩圓圓心的直線的直角坐標(biāo)方程為_(kāi)_______．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，∴|x-1|+|x-5|-a＞0對(duì)于x∈R恒成立，
而|x-1|+|x-5|-a＞0對(duì)于x∈R恒成立?a＜（|x-1|+|x-5|）_min．
令g（x）=|x-1|+|x-5|=，可知g（x）_min=4，∴a＜4．
（2）連接AC，BC，∵AB是圓O的直徑，∴AC⊥BC，又∵CD⊥AB，∴CD²=AD×DB，
∵AD=5DB，∴CD²=5DB²，∴．
∵r==3DB，∴OD=r-DB=2DB．
在Rt△OCD中，==．
（3）圓O₁的極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ可以化為ρ²=4ρcosθ，∴x²+y²=4x，∴（x-2）²+y²=4，∴圓心O₁（2，0）；
圓O₂的極坐標(biāo)方程ρ=-4sinθ可化為ρ²=4ρsinθ，∴x²+y²=4y，配方得x²+（y-2）²=4，∴圓心O₂（0，2）．
∴經(jīng)過(guò)兩圓圓心的直線的直角坐標(biāo)方程為 ，即y=x+2．
故答案分別為（-∞，4），，y=x+2．
分析：（1）原問(wèn)題?a＜（|x-1|+|x-5|）_min，通過(guò)分類討論求出其最小值即可；
（2）利用圓的性質(zhì)、射影定理及正切函數(shù)的定義即可得出；
（3）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及點(diǎn)斜式即可得出．
點(diǎn)評(píng)：把問(wèn)題正確等價(jià)轉(zhuǎn)化，熟練掌握分類討論的方法、圓的性質(zhì)、射影定理及正切函數(shù)的定義、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及點(diǎn)斜式是解題的關(guān)鍵．