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已知橢圓
x2
16
+
y2
4
=1的左、右頂點分別為A、B，曲線E是以橢圓中心為頂點，B為焦點的拋物線．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）直線l：y=
k
（x-2）與曲線E交于不同的兩點M、N，當
AM
•
AN
≥68時，求直線l的傾斜角θ的取值范圍．
分析：（Ⅰ）依題意可求A，B進而可求拋物線E的方程
（Ⅱ）聯立方程
y=
k
(x-2)
y2=16x
得：kx2-（4k+16）x+4k=0，根據方程有兩個不等的根，結合韋達定理可得k的范圍，進而可求θ的范圍
解答：解：（Ⅰ）依題意得：A（-4，0），B（4，0）
∴曲線E的方程為y2=16x．-------（2分）
（Ⅱ）由
y=
k
(x-2)
y2=16x
得：kx2-（4k+16）x+4k=0
由
△=(4k+16)2-16k2＞0
k＞0

解得：k＞0----------（4分）
設設M（x1，y1），N（x2，y2），則：
x1+x2=
4k+16
k
，x1x2=4
∴
AM
•
AN
=（x1+4，y1）（x2+4，y2）=（x1+4）（x2+4）+y1y2
=（k+1）x1x2+（4-2k）（x1+x2）+16+4k=
64
k
+4≥68----------（6分）
∴0＜k≤1，
∴θ∈（0，
π
4
]----------（8分）
點評：本題主要考查了利用拋物線的性質求解拋物線的方程，直線與拋物線方程的相交的處理中，要注意方程的根與系數的關系的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知橢圓
x2
16
+
y2
12
=1，點P為其上一點，F1、F2為橢圓的焦點，Q為射線F1P延長線上一點，且|PQ|=|PF2|，設R為F2Q的中點．
（1）當P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；
（2）設點R形成的曲線為C，直線l：y=k（x+4
2
）與曲線C相交于A、B兩點，若∠AOB=90°時，求k的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

給出下列命題：
①已知橢圓
x2
16
+
y2
8
=1的兩個焦點為F1，F2，則這個橢圓上存在六個不同的點M，使得△F1MF2為直角三角形；
②已知直線l過拋物線y=2x2的焦點，且與這條拋物線交于A，B兩點，則|AB|的最小值為2；
③若過雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一個焦點作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標原點，則|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，則這兩個圓恰有2條公切線．
其中正確命題的序號是
 
．（把你認為正確命題的序號都填上）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
16
+
y2
12
=1的左焦點是F1，右焦點是F2，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點在y軸上，那么|PF1|：|PF2|=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
16
+
y2
12
=1的左焦點是F1，右焦點是F2，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點在y軸上，那么|PF1|：|PF2|=（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
16
+
y2
9
=1與x軸交于A、B兩點，焦點為F1、F2．
（1）求以F1、F2為頂點，以A、B為焦點的雙曲線E的方程；
（2）M為雙曲線E上一點，y軸上一點P (0，
16
3
)，求|MP|取最小值時M點的坐標．

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