Question

如圖，設(shè)計(jì)一個(gè)小型正四棱錐形冷水塔，其中頂點(diǎn)P在底面的射影為正方形ABCD的中心O，返水口E為BC的中點(diǎn)，冷水塔的四條鋼梁（側(cè)棱）設(shè)計(jì)長(zhǎng)度均為10米．冷水塔的側(cè)面選用鋼板，基于安全與冷凝速度的考量，要求鋼梁（側(cè)棱）與底面的夾角α落在區(qū)間[

π

6

，

π

3

]內(nèi)，如何設(shè)計(jì)可得側(cè)面鋼板用料最省且符合施工要求？

Answer 1

分析：根據(jù)題意，算出底面邊長(zhǎng)等于10

2

cosα，從而在Rt△P0E中算出PE=5

2

•

1+sin2α

，可得側(cè)面積關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式：S_側(cè)面=200

1-sin4α

，由sinα∈[

1

2

，

3

2

]即可算出當(dāng)α=

π

3

時(shí)，側(cè)面鋼板用料最�。�由此可得相應(yīng)的底面邊長(zhǎng)和高，得到本題答案．

解答：解：依題意，可得
鋼梁（側(cè)棱）與底面的夾角為∠PBO=α．
∴OP=10sinα，-------------------------（2分）
則OE=

2

2

OB=5

2

cosα，
可得BC=10

2

cosα---------（4分）
在Rt△POE中，
PE=

OP2+OE2

=5

2

•

1+sin2α

，---（6分）
∴S側(cè)面=4×(

1

2

PE•BC)=200cosα

1+sin2α

-------（8分）
=200

1-sin4α

----------------------------（10分）
又∵α∈[

π

6

，

π

3

]，可得

1

2

≤sinα≤

3

2

，----------（11分）
∴當(dāng)且僅當(dāng)sinα=

3

2

時(shí)，側(cè)面積取得最小值，等于200

1-( 3 2 )4

=50

7

---------------（13分）
此時(shí)的cosα=

1

2

，AB=5

2

，OP=5

3

．
即冷水塔的底面邊長(zhǎng)應(yīng)設(shè)計(jì)為AB=5

2

米，高OP=5

3

米時(shí)，側(cè)面鋼板用料最省--------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出實(shí)際應(yīng)用問題，求側(cè)面積的最小值．著重考查了正棱錐的性質(zhì)、直線與平面所成角、解直角三角形和三角函數(shù)模型的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．