Question

已知（

x

-

1

2 4 x

）ⁿ的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列．
（1）證明：展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；
（2）求展開式中所有有理項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出前三項(xiàng)的系數(shù)，列出方程求出n，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0得到常數(shù)項(xiàng)，方程無解，得證．
（2）令展開式中的x的指數(shù)為有理數(shù)，求出k值，再求出相應(yīng)的有理項(xiàng)．

解答：解：依題意，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值是1，C¹_n（

1

2

），C²_n（

1

2

）²，
且2C¹_n•

1

2

=1+C²_n（

1

2

）²，
即n²-9n+8=0，∴n=8（n=1舍去），
∴展開式的第k+1項(xiàng)為C^k₈（

x

）^8-k（-

1

2 4 x

）^k
=（-

1

2

）^kC^k₈•x

8-k

2

•x-

k

4

=（-1）^k•C^k₈•x

16-3k

4

．
（1）證明：若第k+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，
當(dāng)且僅當(dāng)

16-3k

4

=0，即3k=16，
∵k∈Z，∴這不可能，∴展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)．
（2）若第k+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)

16-3k

4

為整數(shù)，
∵0≤k≤8，k∈Z，∴k=0，4，8，
即展開式中的有理項(xiàng)共有三項(xiàng)，它們是：
T₁=x⁴，T₅=

35

8

x，T₉=

1

256

x^-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題．