Question

(2014·成都模擬)已知函數(shù)f(x)=x2++alnx(x>0).

(1)若f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍.

(2)若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f(x)對于區(qū)間D上的任意兩個值x1,x2總有不等式[f(x1)+f(x2)]≥f成立,則稱函數(shù)y=f(x)為區(qū)間D上的“凹函數(shù)”.試證當(dāng)a≤0時,f(x)為“凹函數(shù)”.

 

Answer 1

（1）a≥0 （2）見解析

【解析】(1)由f(x)=x2++alnx,

得f′(x)=2x-+.

因為函數(shù)為[1,+∞)上的單調(diào)增函數(shù).

則f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,

即不等式2x-+≥0在[1,+∞)上恒成立.

即a≥-2x2在[1,+∞)上恒成立.

令φ(x)=-2x2,上述問題等價于a≥φ(x)max,而φ(x)=-2x2為[1,+∞)上的減函數(shù),則φ(x)max=φ(1)=0,于是a≥0為所求.

(2)由f(x)=x2++alnx得

=(+)++(lnx1+lnx2)

=(+)++aln,

f=++aln,

而(+)≥[(+)+2x1x2]=,�、�

又(x1+x2)2=(+)+2x1x2≥4x1x2,

所以≥.�、�

因為≤,所以ln≤ln,

因為a≤0,所以aln≥aln,�、�

由①②③得(+)++aln≥++aln,

即≥f,

從而由凹函數(shù)的定義可知a≤0時,函數(shù)f(x)為凹函數(shù).