Question

設(shè)數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a₁=4，a₂=，a_n+1=，b_n=．
（1）證明：a_n＞2，0＜b_n＜2（n∈N^*）；
（2）設(shè)c_n=log₃，求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和為{P_n}，求證：S_n+T_n＜P_n+．（n≥2）

Answer 1

（本題滿分16分）
（1）∵，b_n+1=，
兩式相乘得a_nb_n=a_n+1b_n+1，
∴{a_nb_n}為常數(shù)列，∴a_nb_n=a₁b₁=4；（2分）
∴，
∴，
∴0＜b_n＜2；
（若a_n=2，則a_n+1=2，從而可得{a_n}為常數(shù)列與a₁=4矛盾）；（4分）
（2）∵，
∴
=
=
=2，
∴=2，
∴{c_n}為等比數(shù)列，
∵c₁=1，∴．（8分）
（3）由，知=2（1+）=2+，
令，數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和為D_n，很顯然只要證明，（n≥2），
∵n≥2，∴．
∵==≤，
∴d_n=≤≤≤…≤d₂，
所以D_n=d₁+（d₂+d₃+…+d_n）≤
≤2+=2+=，
所以．（14分）
又a_nb_n=4，b_n＜2，故p_n=4n，且T_n＜2n，
所以=4n+=，n≥2．（16分）
分析：（1），b_n+1=，兩式相乘得a_nb_n=a_n+1b_n+1，由此能夠證明a_n＞2，0＜b_n＜2（n∈N^*）．
（2）由，得=2，由此能夠求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式．
（3）由，知=2（1+）=2+，令，數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和為D_n，只要證明，（n≥2），就能得到S_n+T_n＜P_n+．（n≥2）
點(diǎn)評：本題考查不等式的證明和數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考重點(diǎn)，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．