Question

已知函數(shù)

（Ⅰ）當時，判斷函數(shù)的單調區(qū)間并給予證明；

（Ⅱ）若有兩個極值點，證明：．

Answer 1

（Ⅰ）證明詳見解析；（Ⅱ）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）時，于是可利用導數(shù)的符號解決函數(shù)的單調性問題；（Ⅱ）因為有兩個極值點，所以其導函數(shù)有兩個零點，

又因為的導數(shù)為，可結合的性質確定的取值范圍，寫出函數(shù)在處所取極值的表達式及定義域，同樣利用導數(shù)研究的單調性從而證明不等式.

試題解析：（Ⅰ）時，易知

從而為單調減函數(shù)． ４分

（Ⅱ）有兩個極值點，

即有兩個實根，所以

，得．

，得． 6分

又，

所以 8分

，得

10分

令

，

12分

另【解析】
由兩個實根，，

當時，所以單調遞減且，不能滿足條件．

當時，所以單調遞減且

當時，所以單調遞增且，

故當時，，當時，當時②，所以由兩個實根需要．即

即，，從而可以構造函數(shù)解決不等式的證明．

考點：導數(shù)的運算以及應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、求函數(shù)的極值等問題.