Question

19．已知函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4x}-1$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=-x²+2bx-4，（1≤b≤2），若對(duì)任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)沒(méi)理由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
（2）若對(duì)任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立等價(jià)于f（x）_min≥g（x）_max，
通過(guò)求解函數(shù)的最值，列出不等式求解實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（1）$f（x）=lnx-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4x}-1（x＞0）$，$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{4}-\frac{3}{{4{x^2}}}=\frac{{4x-{x^2}-3}}{{4{x^2}}}$，
由x＞0及f'（x）＜0，得0＜x＜1或x＞3，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），（3，+∞）．
（2）若對(duì)任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立等價(jià)于f（x）_min≥g（x）_max，
由（1）可知，在（0，2）上，x=1是函數(shù)極小值點(diǎn)，這個(gè)極小值是唯一的極值點(diǎn)，故也是最小值點(diǎn)，
所以$f{（x）_{min}}=f（1）=-\frac{1}{2}$；g（x）=-x²+2bx-4，x∈[1，2]，
當(dāng)1≤b≤2時(shí)，$g{（x）_{max}}=g（b）={b^2}-4$，$\left\{\begin{array}{l}1≤b≤2\\-\frac{1}{2}≥{b^2}-4\end{array}\right.$即$1≤b≤\frac{{\sqrt{14}}}{2}$，
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是$1≤b≤\frac{{\sqrt{14}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．