Question

梯形ACPD中，AD∥CP，PD⊥AD，CB⊥AD，∠DAC=

π

4

，PC=AC=2，如圖①；現(xiàn)將其沿BC折成如圖②的幾何體，使得AD=

6

．
（Ⅰ）求直線BP與平面PAC所成角的大�。�
（Ⅱ）求二面角C-PA-B的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先判斷BD、BA、BC兩兩垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得直線BP與平面PAC成的角大��；
（Ⅱ）求出平面PAB的法向量

m

=(

2

，0，-1)，平面PAC的法向量為

n

=（1，1，0），利用向量的夾角公式，即可求得二面角C-PA-B的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，∵PC=AC=2，
∴AB=BC=

2

，BD=2，AD=

6

．
在△ABD中，∵AB²+DB²=AD²，∴BD⊥BA，
∴BD、BA、BC兩兩垂直，分別以BC、BA、BD所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz（如圖）.A(0，

2

，0)，B(0，0，0)，C(

2

，0，0)，P(

2

，0，2)，

BP

=(

2

，0，2)．
設(shè)平面PAC的法向量為

n

=（x，y，z），

CA

=(-

2

，

2

，0)，

CP

=(0，0，2)，

n • CA =0 n • CP =0

，
∴

x-y=0 z=0

，取

n

=（1，1，0）
設(shè)直線BP與平面PAC成的角為θ，則sinθ=|

BP • n

| BP |•| n |

|=

2

2 × 6

=

6

6

直線BP與平面PAC成的角大小為arcsin

6

6

．
（Ⅱ）設(shè)平面PAB的法向量為

m

=（x，y，z），

BA

=(0，

2

，0)，

AP

=(

2

，-

2

，2)．
∴

AB • m =0 AP • m =0

，∴

- 2 y=0 2 x- 2 y+2z=0

，∴

y=0 x=- 2 z

令z=-1，∴

m

=(

2

，0，-1)．
由（Ⅰ）知平面PAC的法向量為

n

=（1，1，0）．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

2

3 × 2

=

3

3

由圖知二面角C-PA-B為銳角，
∴二面角C-PA-B的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面角，考查面面角，考查利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，屬于中檔題．