已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2-4（a∈R），f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）當(dāng)a=2時，對于任意的m∈[-1，1]，n∈[-1，1]求f（m）+f′（n）的最小值；
（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）＞0求a的取值范圍．
【答案】分析：（1）欲求f（m）+f′（n）的最小值，就分別求f（m）、f′（n）的最小值
（2）存在x∈（0，+∞），使f（x）＞0即尋找f（x）max＞0是變量a的范圍．
解答：解：（1）由題意知f（x）=-x3+2x2-4，f′（x）=-3x2+4x
令f′（x）=0，得x=0或
當(dāng)x在[-1，1]上變化時，f（x），f′（x）隨x的變化情況如下表：

∴對于m∈[-1，1]，f（m）的最小值為f（0）=-4，
∵f′（x）=-3x2+4x的對稱軸為且拋物線開口向下
∴對于n∈[-1，1]，f′（n）的最小值為f′（-1）=-7，
∴f（m）+f′（n）的最小值為-11．

（2）∵f′（x）=-3x（x-）
①若a≤0，當(dāng)x＞0，時f′（x）＜0
∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，又f（0）=-4，則當(dāng)x＞0時，f（x）＜-4∴當(dāng)a≤0時，不存在x＞0，使f（x）＞0
②若a＞0，則當(dāng)0＜x＜時，f′（x）＞0，
當(dāng)x＞時，f′（x）＜0從而f（x）在（0，]上單調(diào)遞增，在[，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）max=f（）=
根據(jù)題意，，即a3＞27，解得a＞3
綜上，a的取值范圍是（3，+∞）
點評：本題考查了三次函數(shù)、二次函數(shù)的最值問題，以及存在性問題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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