分析:(1)對函數(shù)求導(dǎo),由f'(-1)=0,可求a,代入可求導(dǎo)數(shù)的符號,進(jìn)而可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,極值得
(2)由直線線m:y=kx+9過定點(diǎn)(0,9),設(shè)切點(diǎn)為
(x0,3+6x0+12),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可達(dá)切線方程為
y-(3+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),將點(diǎn)(0,9)代入可求x
0,然后代入可求切線方程,然后可求f(x)的切線方程,又由f'(x)=12得-6x
2+6x+12=12可得x=0或x=1,同理可求f(x)得切線,進(jìn)而可確定公切線
(3)①由kx+9≤g(x)得kx≤3x
2+6x+3,分類討論:當(dāng)x=0時(shí),當(dāng)-2≤x<0;當(dāng)x>0時(shí)結(jié)合基本不等式可求k的范圍;②由f(x)≤kx+9,分類討論:當(dāng)x=0時(shí),當(dāng)-2≤x<0;當(dāng)-2≤x<0,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求
解答:解:(1)f'(x)=3ax
2+6x-6a,由f'(-1)=0,即3a-6-6a=0,得a=-2.(2分)
∴f(x)=-2x
3+3x
2+12x-11.令f'(x)=-6x
2+6x+12=0,解得x=-1或x=2
當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)在區(qū)間(-2,3)上的變化情況如下表:
x |
(-2,-1) |
-1 |
(-1,2) |
2 |
(2,3) |
f'(x) |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
f(x) |
單調(diào)遞減 |
-18 |
單調(diào)遞增 |
9 |
單調(diào)遞減 |
從上表可知,當(dāng)x=-1時(shí),f(x)在區(qū)間(-2,3)上有極小值,極小值為-18,當(dāng)x=2時(shí),f(x)在區(qū)間(-2,3)上有極大值,極大值為9.(4分)
(2)∵直線m恒過點(diǎn)(0,9).
先求直線m是y=g(x) 的切線.設(shè)切點(diǎn)為
(x0,3+6x0+12),
∵g'(x
0)=6x
0+6.
∴切線方程為
y-(3+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),將點(diǎn)(0,9)代入得x
0=±1.
當(dāng)x
0=-1時(shí),切線方程為y=9; 當(dāng)x
0=1時(shí),切線方程為y=12x+9.(6分)
由f'(x)=0得-6x
2+6x+12=0,即有x=-1,x=2
當(dāng)x=-1時(shí),y=f(x)的切線y=-18,
當(dāng)x=2時(shí),y=f(x)的切線方程為y=9,
∴y=9是公切線,(7分)
又由f'(x)=12得-6x
2+6x+12=12
∴x=0或x=1,
當(dāng)x=0時(shí)y=f(x)的切線為y=12x-11;
當(dāng)x=1時(shí)y=f(x)的切線為y=12x-10,
∴y=12x+9不是公切線.(8分)
綜上所述 k=0時(shí)y=9是兩曲線的公切線.(9分)
(3)①由kx+9≤g(x)得kx≤3x
2+6x+3,當(dāng)x=0時(shí),不等式恒成立,k∈R;
當(dāng)-2≤x<0時(shí),不等式為
k≥3(x+)+6,而
3(x+)+6=-3[(-x)+]+6≤-3•2+6=0
∴k≥0
當(dāng)x>0時(shí),不等式為
k≤3(x+)+6
∵
3(x+)+6≥12∴k≤12
∴當(dāng)x≥-2時(shí),kx+9≤g(x)恒成立,則0≤k≤12.(11分)
②由f(x)≤kx+9得
當(dāng)x=0時(shí),9≥-11恒成立,k∈R;當(dāng)-2≤x<0時(shí),有
k≤-2x2+3x+12-,
設(shè)h(x)=
-2x2+3x+12-=
-2(x-)2+-,
當(dāng)-2≤x<0時(shí)
-2(x-)2+為增函數(shù),
-也為增函數(shù),所以h(x)≥h(-2)=8
故要使f(x)≤kx+9在-2≤x<0上恒成立,(12分)
由上述過程只要考慮0≤k≤8,則當(dāng)x>0時(shí)f'(x)=-6x
2+16x+12=-6(x+1)(x-2)
在x∈(0,2]時(shí)f'(x)>0,在(2,+∞)時(shí)f'(x)<0,
所以f(x)在x=2時(shí)有極大值,即f(x)在上的最大值,又f(2)=9,即f(x)≤9
而當(dāng)x>0,k≥0時(shí),f(x)≤kx+9一定成立.
綜上所述0≤k≤8.(14分)