Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，AC∩BD＝O．將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使AC＝a，得到三棱錐A－BCD，如圖所示．

(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求證：AO⊥平面BCD；

(2)當(dāng)二面角A－BD－C的大小為120°時(shí)，求二面角A－BC－D的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：根據(jù)題意，在中，，， 　　所以，所以．2分 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/4810/0018/1c2714b3b2d24417d57ce4fb15b3a6a7/C/Image68.gif" width=64 HEIGHT=18>是正方形的對(duì)角線， 　　所以．3分 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/4810/0018/1c2714b3b2d24417d57ce4fb15b3a6a7/C/Image71.gif" width=92 HEIGHT=20>， 　　所以．4分 　　(2)解法1：由(1)知，，如圖，以為原點(diǎn)，，所在的直線分別為軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，5分 　　則有，，，． 　　設(shè)，則，．6分 　　又設(shè)面的法向量為， 　　則即 　　所以，令，則． 　　所以．8分 　　因?yàn)槠矫?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/4810/0018/1c2714b3b2d24417d57ce4fb15b3a6a7/C/Image98.gif" width=37 height=18>的一個(gè)法向量為， 　　且二面角的大小為，9分 　　所以，得． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/4810/0018/1c2714b3b2d24417d57ce4fb15b3a6a7/C/Image104.gif" width=66 height=28>，所以． 　　解得．所以．10分 　　設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/4810/0018/1c2714b3b2d24417d57ce4fb15b3a6a7/C/Image110.gif" width=262 height=53>， 　　則，即 　　令，則． 　　所以．12分 　　設(shè)二面角的平面角為， 　　所以．13分 　　所以． 　　所以二面角的正切值為．14分 　　解法2：折疊后在△中，， 　　在△中，．5分 　　所以是二面角的平面角， 　　即；6分 　　在△中，， 　　所以；7分 　　如圖，過點(diǎn)作的垂線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)， 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/4810/0018/1c2714b3b2d24417d57ce4fb15b3a6a7/C/Image134.gif" width=66 height=18>，，且， 　　所以平面．8分 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/4810/0018/1c2714b3b2d24417d57ce4fb15b3a6a7/C/Image140.gif" width=45 height=17>平面，所以． 　　又，且，所以平面．9分 　　過點(diǎn)作作，垂足為，連接， 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/4810/0018/1c2714b3b2d24417d57ce4fb15b3a6a7/C/Image149.gif" width=69 height=18>，，所以平面．10分 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/4810/0018/1c2714b3b2d24417d57ce4fb15b3a6a7/C/Image153.gif" width=44 HEIGHT=17>平面，所以． 　　所以為二面角的平面角．11分 　　在△中，，，則，， 　　所以；12分 　　在△中，，所以；13分 　　在△中，． 　　所以二面角的正切值為．14分