Question

關(guān)于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0，下列判斷：
①存在實數(shù)k，使得方程有四個不同的實數(shù)根；
②存在實數(shù)k，使得方程有七個不同的實數(shù)根；
③存在實數(shù)k，使得方程有八個不同的實數(shù)根．　
其中正確的有

①③

（填相應(yīng)的序號）．

Answer 1

分析：將方程根的問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象的問題，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可得結(jié)論．

解答：解：關(guān)于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0可化為（x²-1）²-（x²-1）+k=0（x≥1或x≤-1）（1）
或（x²-1）²+（x²-1）+k=0（-1＜x＜1）（2）
①當(dāng)k=

1

4

時，方程（1）有兩個不同的實根±

6

2

，方程（2）有兩個不同的實根±

2

2

，
即原方程恰有4個不同的實根；
②當(dāng)k=0時，原方程恰有5個不同的實根，由圖象可知方程有七個不同的實數(shù)根；
③當(dāng)k=

2

9

時，方程（1）的解為±

15

3

，±

2 3

3

，方程（2）的解為±

3

3

，±

6

3

，
即原方程恰有8個不同的實根．
故答案為：①③．

點評：本題主要考查了分段函數(shù)，以及函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．