Question

（2010•江蘇模擬）已知直線（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)F恰好是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知圓O：x²+y²=1，直線l：mx+ny=1．試證明當(dāng)點(diǎn)P（m，n）在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l與圓O恒相交；并求直線l被圓O所截得的弦長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可將直線（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）改寫(xiě)為（x-2y-3）+k（4x+3y-12）=0由于k∈R故

x-2y-3=0 4x+3y-12=0

即

x=3 y=0

即F（3，0）然后再根據(jù)題中條件即可求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）要證明當(dāng)點(diǎn)P（m，n）在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l與圓O恒相交只需證明圓心O到直線l：mx+ny=1的距離d=

1

m2+n2

小于圓O：x²+y²=1的半徑1．而要求直線l被圓O所截得的弦長(zhǎng)的取值范圍可利用圓中的弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)的表達(dá)式再結(jié)合參數(shù)的取值范圍即可得解．

解答：解：（1）由（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）可得（x-2y-3）+k（4x+3y-12）=0
∴

x-2y-3=0 4x+3y-12=0

∴F（3，0）
設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則

c=3 a+c=8 a2=b2+c2

∴

a=5 b=4 c=3

．
∴橢圓C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1
（2）因?yàn)辄c(diǎn)P（m，n）在橢圓C上運(yùn)動(dòng)，所以1=

m2

25

+

n2

16

＜m²+n²
∴圓心O到直線l：mx+ny=1的距離d=

1

m2+n2

＜1=r
∴直線l與圓O恒相交
又∵直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)為L(zhǎng)=2

r2-d2

=2

1- 1 m2+n2

=2

1- 1 9 25 m2 +16

∵0≤m²≤25
∴16≤16+

9

25

m²≤25
∴L∈[

15

2

，

4 6

5

]
即直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)的取值范圍是L∈[

15

2

，

4 6

5

]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了直線與圓錐曲線的綜合．解題的關(guān)鍵是第一問(wèn)要會(huì)求直線（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)和理解橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的最大距離為a+c，而對(duì)于第二問(wèn)理解圓心到直線的距離與半徑大小的關(guān)系與直線與圓位置關(guān)系的判定以及圓中半徑，圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)的一半滿足勾股定理！